kalkyl

kalkyl

på sidan definition av derivatet har vi hittat uttrycket för derivatet av den naturliga logaritmfunktionen \(y = \ ln x:\)

nu betraktar vi den logaritmiska funktionen med godtycklig bas och erhåller en formel för dess derivat.

så, låt oss ta den logaritmiska funktionen \(y = {\log _a}x,\) där basen \(a\) är större än noll och inte lika med \(1:\) \(a \gt 0\), \(a \ne 1\). Enligt definitionen av derivatet ger vi en ökning \(\Delta x \gt 0\) till den oberoende variabeln \(x\) förutsatt att \(x + \Delta x \gt 0\). Den logaritmiska funktionen kommer att öka med värdet av \(\Delta y\) där

dela båda sidor med \(\Delta x:\)

beteckna \ ({\frac {{\Delta x}}{x}} = {\frac{1}{n}}\). Då kan den sista relationen skrivas om som

med hjälp av kraftegenskapen för logaritmer får vi:

om vi antar att \(\Delta x \ till 0\) (i detta fall \(n \till \infty\)) finner vi gränsen för förhållandet mellan inkrementen, dvs derivatet av den logaritmiska funktionen:

här använde vi egenskapen för gränsen för en sammansatt funktion med tanke på att den logaritmiska funktionen är kontinuerlig. Gränsen i kvadratkonsoler konvergerar till det berömda trancendentiella talet \(e\), vilket är ungefär lika med \(2.718281828\ldots:\)

följaktligen har derivatet av den logaritmiska funktionen formen

genom formeln för förändring av bas för logaritmer har vi:

således,

om \(a = E\) erhåller vi den naturliga logaritmen vars derivat uttrycks med formeln \({\left ({\ln x} \right)^\prime } = {\frac{1}{x}}.\ )

vi noterar ett annat viktigt specialfall-derivatet av den gemensamma logaritmen (till basen \(10\)):

där siffran \(M\) är lika med \(M = {\log _{10}}e \ca 0.43429 \ldots\)

Observera att vi härledde formeln \(\vänster ({{\log }_a}x} \höger)^\prime = \frac {1} {{x\ln a}}\) från första principerna – med gränsdefinitionen för derivatet. Som logaritmisk funktion med bas \(a\) \(\vänster ({a \gt 0}\höger.\), \(\vänster.{a \ ne 1} \ right)\) och exponentiell funktion med samma bas bildar ett par ömsesidigt inversa funktioner, derivatet av den logaritmiska funktionen kan också hittas med hjälp av invers funktionssats.

Antag att vi får ett par ömsesidigt inversa funktioner \(y = f \ vänster (x \ höger) = {\log_a}x\) och \(x = \varphi \vänster( y \höger) = {a^y}.\ ) Sedan

i det speciella fallet \(a = E\) ges derivatet av

i exemplen nedan bestämmer du derivatet av den givna funktionen.

Lösta problem

klicka eller tryck på ett problem för att se lösningen.

lösning.

differentiera med kvotregeln:

där \(x \gt 0.\)

lösning.

med hjälp av produkt – och skillnadsreglerna har vi

lösning.

med hjälp av produktregeln, kedjeregeln och derivatet av den naturliga logaritmen har vi

lösning.

lösning.

av kraftregeln och kedjeregeln,

lösning.

enligt kedjeregeln,