calcul

calcul

pe pagina definiția derivatului, am găsit expresia pentru derivata funcției logaritmice naturale \(y = \ ln x:\)

acum luăm în considerare funcția logaritmică cu bază arbitrară și obținem o formulă pentru derivata sa.

deci, să luăm funcția logaritmică \(y = {\log _a}x,\) unde baza \(a\) este mai mare decât zero și nu este egală cu \(1:\) \(A \gt 0\), \(a \ne 1\). Conform definiției derivatului, dăm o creștere \(\Delta x \ gt 0\) variabilei independente \(x\) presupunând că \(x + \Delta x \gt 0\). Funcția logaritmică va crește, respectiv, cu valoarea \(\Delta y\) unde

împărțiți ambele părți la \ (\Delta x:\)

denotă \({\frac{{\Delta x}}{x}} = {\frac{1}{n}}\). Apoi, ultima relație poate fi rescrisă ca

folosind proprietatea de putere pentru logaritmi, obținem:

presupunând că \(\Delta x \la 0\) (în acest caz \(n \la \infty\)), găsim limita raportului incrementelor, adică derivata funcției logaritmice:

aici am folosit proprietatea limitei unei funcții compuse având în vedere că funcția logaritmică este continuă. Limita din parantezele pătrate converge la celebrul număr trancendențial \(e\), care este aproximativ egal cu \(2.718281828 \ ldots:\)

în consecință, derivata funcției logaritmice are forma

prin formula de schimbare a bazei pentru logaritmi, avem:

astfel,

dacă \(a = e\), obținem logaritmul natural al cărui derivat este exprimat prin formula \({\left( {\ln x} \right)^\prime } = {\frac{1}{x}}.\)

observăm un alt caz special important − derivatul logaritmului comun (la bază \(10\)):

unde numărul \(M\) este egal cu \(M = {\log _{10}}e \aprox 0,43429 \ldots\)

rețineți că am derivat formula \(\stânga( {{{\log }_a}x} \dreapta)^\prime = \frac{1}{{x\ln a}}\) din primele principii – folosind definiția limită a derivatei. Ca funcție logaritmică cu baza \(a\) \(\stânga({a\gt 0} \ dreapta.\ ), \(\stânga.{a \ ne 1} \ dreapta)\) și funcția exponențială cu aceeași bază formează o pereche de funcții inverse reciproc, derivata funcției logaritmice poate fi găsită și folosind teorema funcției inverse.

să presupunem că ni se dă o pereche de funcții inverse reciproc \(y = f\stânga( x \dreapta) = {\log_a}x\) și \(x = \varphi \stânga( y \dreapta) = {a^y}.\ ) Atunci

în cazul particular \(a = e\), derivata este dată de

în exemplele de mai jos, determinați derivata funcției date.

probleme rezolvate

Faceți clic sau atingeți o problemă pentru a vedea soluția.

soluție.

diferențiază folosind regula coeficientului:

unde \(x \ gt 0.\)

soluție.

folosind regulile produsului și diferenței, avem

soluție.

folosind regula produsului, regula lanțului și derivata logaritmului natural, avem

soluție.

soluție.

de regula puterii și regula lanțului,

soluție.

de regula lanțului,