Rachunek różniczkowy

Rachunek różniczkowy

na stronie definicja pochodnej znaleźliśmy wyrażenie dla pochodnej funkcji logarytmu naturalnego \(y = \ln x:\)

teraz rozważamy funkcję logarytmiczną o dowolnej podstawie i otrzymujemy wzór na jej pochodną.

weźmy więc funkcję logarytmiczną \(y = {\log _a} x,\), gdzie baza \(A\) jest większa od zera i nie jest równa \(1:\) \(A \ gt 0\), \(a \ne 1\). Zgodnie z definicją pochodnej, dajemy przyrost \(\Delta x \gt 0\) do zmiennej niezależnej \(x\) zakładając, że \(x + \ Delta x \gt 0\). Funkcja logarytmiczna zwiększy się odpowiednio o wartość \(\Delta y\), gdzie

podziel obie strony przez \(\Delta X:\)

Oznacz \ ({\frac {{\Delta x}}{x}} = {\frac {1} {n}}\). Wtedy ostatnią relację można przepisać jako

korzystając z własności power dla logarytmów, otrzymujemy:

przypuśćmy, że \(\Delta x \ do 0\) (w tym przypadku \(n \do \infty\)), znajdujemy granicę stosunku przyrostów, tj. pochodną funkcji logarytmicznej:

tutaj użyliśmy własności granicy funkcji zespolonej, biorąc pod uwagę, że funkcja logarytmiczna jest ciągła. Granica w nawiasach kwadratowych zbiega się do słynnej liczby trancendentalnej \(e\), która jest w przybliżeniu równa \(2.718281828\ldots:\)

w konsekwencji pochodna funkcji logarytmicznej ma postać

według wzoru zmiany zasad dla logarytmów mamy:

Tak więc,

Jeśli \(a = e\), otrzymujemy logarytm naturalny, którego pochodna jest wyrażona wzorem \({\left ({\ln x} \right)^ \ prime } = {\frac{1} {x}}.

zwracamy uwagę na inny ważny szczególny przypadek − pochodną logarytmu wspólnego (do bazy \(10\)):

gdzie liczba \(M\) jest równa \(m = {\log _ {10}}e \approx 0.43429 \ldots \)

zauważ, że otrzymaliśmy wzór \(\left ({{{\log} _a} x} \ right)^ \ prime = \ frac{1}{{x\LN a}}\) z pierwszych zasad-używając definicji granicznej pochodnej. Jako funkcja logarytmiczna o podstawie \(a\) \(\left ({a \ gt 0}\right.\ ), \(\left.{a \ne 1} \ right)\) i funkcja wykładnicza o tej samej podstawie tworzą parę wzajemnie odwrotnych funkcji, pochodną funkcji logarytmicznej można również znaleźć za pomocą twierdzenia funkcji odwrotnej.

Załóżmy, że mamy parę wzajemnie odwrotnych funkcji \(y = f\left( x \right) = {\log_a}x\) i \(x = \varphi \left( y \right) = {a^y}.\ ) Następnie

w konkretnym przypadku \(a = e\) pochodna jest dana przez

w poniższych przykładach określ pochodną danej funkcji.

rozwiązane problemy

kliknij lub dotknij problemu, aby zobaczyć rozwiązanie.

rozwiązanie.

Różnicuj za pomocą reguły ilorazu:

gdzie \(x \ gt 0.\)

rozwiązanie.

używając reguł iloczynu i różnicy, mamy

rozwiązanie.

używając reguły iloczynu, reguły łańcuchowej i pochodnej logarytmu naturalnego mamy

rozwiązanie.

rozwiązanie.

przez regułę władzy i regułę łańcucha,

rozwiązanie.

według reguły łańcuchowej,