Calculus

Calculus

op de pagina definitie van de afgeleide hebben we de uitdrukking gevonden voor de afgeleide van de natuurlijke logaritmische functie \(y = \ ln x:\)

nu beschouwen we de logaritmische functie met willekeurige basis en verkrijgen we een formule voor zijn afgeleide.

dus, laten we de logaritmische functie \(y = {\log _a}x,\) nemen waar de basis \(a\) groter is dan nul en niet gelijk is aan \(1:\) \(a \gt 0\), \(a \ne 1\). Volgens de definitie van de afgeleide geven we een toename \(\Delta x \gt 0\) aan de onafhankelijke variabele \(x\) ervan uitgaande dat \(x + \Delta x \gt 0\). De logaritmische functie zal respectievelijk toenemen met de waarde \(\Delta y\) waar

deel beide zijden door \(\Delta x:\)

geeft \({\frac {{\Delta x}}{x}} = {\frac{1}{n}}\) aan. Dan de laatste relatie kan worden herschreven als

met Behulp van de kracht eigendom voor logaritmen, krijgen we:

in de Veronderstelling dat \(\Delta x \0\) (in dit geval \(n \to \infty\)), we vinden de limiet van de verhouding van de stappen, d.w.z. de afgeleide van de logaritmische functie:

hier gebruikten we de eigenschap van de limiet van een samengestelde functie gegeven dat de logaritmische functie continu is. De grens tussen vierkante haken convergeert naar de beroemde trancendential aantal \(e\), wat ongeveer gelijk is aan \(2.718281828\ldots:\)

Dus de afgeleide van de logaritmische functie is van de vorm

Door de verandering van basis formule voor logaritmen, wij hebben:

Zo,

Als \(a = e\), krijgen we de natuurlijke logaritme van de afgeleide van die uitgedrukt wordt door de formule \({\left( {\ln x} \right)^\prime } = {\frac{1}{x}}.\)

Wij opmerking: een ander belangrijk speciaal geval − de afgeleide van het gemeenschappelijke logaritme (basis \(10\)):

waar het aantal \(M\) is gelijk aan \(M = {\log _{10}}e \ca 0.43429 \ldots \)

Merk op dat we afgeleid van de formule \(\left( {{{\log }_a}x} \right)^\prime = \frac{1}{{x\ln a}}\) vanaf de eerste beginselen – het gebruik van de limiet definitie van de afgeleide. Als de logaritmische functie met basis \(a\) \(\left ({a \gt 0} \ right.\), \(\links.{a \ ne 1}\right)\) en exponentiële functie met dezelfde basis vormen een paar wederzijds inverse functies, de afgeleide van de logaritmische functie kan ook worden gevonden met behulp van de inverse functiestelling.

stel dat we een paar wederzijds inverse functies krijgen \(y = f \ left (x \ right) = {\log_a}x\) en \(x = \varphi \left( y \right) = {a^y}.\ ) Dan

in het specifieke geval \(a = e\) wordt de afgeleide gegeven door

bepaal in de voorbeelden hieronder de afgeleide van de gegeven functie.

Opgeloste problemen

klik of tik op een probleem om de oplossing te zien.

oplossing.

differentiëren met behulp van de quotiëntregel:

waar \(x \ gt 0.\)

oplossing.

met behulp van de product – en verschilregels hebben we

oplossing.

met behulp van de productregel, de kettingregel en de afgeleide van de natuurlijke logaritme hebben we

oplossing.

oplossing.

door de vermogensregel en de kettingregel,

oplossing.

door de kettingregel,