kalkulus

kalkulus

a derivált oldaldefiníciójában megtaláltuk a természetes logaritmus függvény származékának kifejezését \(y = \ Ln x:\)

most a logaritmikus függvényt tetszőleges bázissal vesszük figyelembe, és megkapjuk a származékának képletét.

vegyük tehát a \(y = {\log _a}x,\) logaritmikus függvényt, ahol az \(a\) alap nagyobb, mint nulla, és nem egyenlő \(1:\) \(A \gt 0\), \(a \ne 1\) értékkel. A derivált definíciója szerint \(\Delta x \gt 0\) növekményt adunk a független változóhoz \(x\) feltételezve, hogy \(x + \Delta x \gt 0\). A logaritmikus függvény a \(\Delta y\) értékkel növekszik, ahol

osszuk el mindkét oldalt \ (\Delta x:\)

jelöli \({\Frac{{\Delta x}}{x}} = {\frac{1}{n}}\). Ezután az utolsó kapcsolat átírható

a logaritmusok teljesítménytulajdonságát felhasználva megkapjuk:

tegyük fel, hogy \(\Delta x \ nak nek 0\) (ebben az esetben \(n \ nak nek \ infty\)), megtaláljuk a növekmények arányának határát, azaz a logaritmikus függvény deriváltját:

itt egy összetett függvény határának tulajdonságát használtuk, mivel a logaritmikus függvény folytonos. A szögletes zárójelben lévő határ a híres \(e\) transzendenciális számhoz konvergál, amely megközelítőleg \ (2.718281828 \ ldots:\)

következésképpen a logaritmikus függvény deriváltja a következő

a logaritmusok alapváltozási képletével rendelkezünk:

így,

ha \(a = e\), megkapjuk a természetes logaritmust, amelynek deriváltját a \({\left( {\Ln x} \right)^\prime } = {\frac{1}{x}} képlettel fejezzük ki.\)

megjegyezzük egy másik fontos különleges eset − a derivált a közös logaritmus (a bázis \(10\)):

ahol a \(M\) szám egyenlő \(M = {\log _ {10}}e \ KB 0,43429 \ ldots\)

vegye figyelembe, hogy a \(\left( {{{\log }_A}x} \right)^\prime = \frac{1}{{x\Ln a}}\) képletet az első alapelvekből származtattuk – a derivált határdefiníciójának felhasználásával. Mint a logaritmikus függvény bázissal \(a\) \(\bal({a \ gt 0} \ jobb.\ ), \ (\balra.{a \ne 1}\right)\) és az azonos bázisú exponenciális függvény kölcsönösen inverz függvénypárokat alkot, a logaritmikus függvény deriváltja az inverz függvény tételével is megtalálható.

tegyük fel, hogy kapunk egy pár kölcsönösen inverz függvényt \(y = f\left( x \right) = {\log_a}x\) és \(x = \varphi \left( y \right) = {a^y}.\ ) Akkor

az adott esetben \(a = e\), a deriváltat az adja meg

az alábbi példákban határozza meg az adott függvény deriváltját.

megoldott problémák

kattintson vagy koppintson egy problémára a megoldás megtekintéséhez.

megoldás.

Differenciáljon a hányados szabály használatával:

ahol \(x \ gt 0.\)

megoldás.

a termék és a különbség szabályai szerint

megoldás.

a termékszabályt, a láncszabályt és a természetes logaritmus deriváltját használva

megoldás.

megoldás.

a hatalmi szabály és a láncszabály szerint,

megoldás.

a láncszabály szerint,