Calcul

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Sur la page Définition de la Dérivée, nous avons trouvé l’expression pour la dérivée de la fonction logarithmique naturelle \(y = \ln x:\)

Maintenant, nous considérons la fonction logarithmique à base arbitraire et obtenons une formule pour sa dérivée.

Prenons donc la fonction logarithmique \(y= {\log_a}x, \) où la base \(a\) est supérieure à zéro et non égale à \(1: \)\(a\gt 0\), \(a\ne 1\). Selon la définition de la dérivée, nous donnons un incrément \(\Delta x\gt 0\) à la variable indépendante \(x\) en supposant que \(x + \Delta x\gt 0\). La fonction logarithmique incrémente, respectivement, de la valeur de \(\Delta y\) où

Diviser les deux côtés par \(\Delta x:\)

Désigne \({\frac {{\Delta x}} {x}} = {\frac {1}{n}}\). Ensuite, la dernière relation peut être réécrite comme

En utilisant la propriété power pour les logarithmes, on obtient:

Supposons que \(\Delta x\ à 0\) (dans ce cas \(n\ à \infty\)), nous trouvons la limite du rapport des incréments, c’est-à-dire la dérivée de la fonction logarithmique:

Ici, nous avons utilisé la propriété de la limite d’une fonction composite étant donné que la fonction logarithmique est continue. La limite entre crochets converge vers le fameux nombre trancendentiel \(e\), qui est approximativement égal à \(2.718281828\ldots:\)

Par conséquent, la dérivée de la fonction logarithmique a la forme

Par la formule de changement de base pour les logarithmes, nous avons:

Ainsi,

Si \(a=e\), on obtient le logarithme naturel dont la dérivée est exprimée par la formule \({\left({\ln x}\right) ^\prime} = {\frac{1}{x}}.\)

Nous notons un autre cas particulier important − la dérivée du logarithme commun (à la base \(10\)):

où le nombre \(M\) est égal à \(M = {\log_{10}} e\environ 0,43429\ldots\)

Notez que nous avons dérivé la formule \(\left({{{\log}_a}x}\right) ^\prime= \frac{1}{{x\ln a}}\) des premiers principes – en utilisant la définition limite de la dérivée. Comme la fonction logarithmique avec base \(a\)\(\left({a\gt 0}\right.\), \(\gauche.{a\ne 1}\right)\) et la fonction exponentielle avec la même base forment une paire de fonctions mutuellement inverses, la dérivée de la fonction logarithmique peut également être trouvée en utilisant le théorème de la fonction inverse.

Supposons qu’on nous donne une paire de fonctions mutuellement inverses \(y = f\left(x\right) = {\log_a} x\) et \(x = \varphi\left(y\right) ={a^y}.\) Puis

Dans le cas particulier \(a=e\), la dérivée est donnée par

Dans les exemples ci-dessous, déterminez la dérivée de la fonction donnée.

Problèmes résolus

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Solution.

Différencier en utilisant la règle du quotient:

où \(x\gt 0.\)

Solution.

En utilisant les règles de produit et de différence, nous avons

Solution.

En utilisant la règle du produit, la règle de la chaîne et la dérivée du logarithme naturel, nous avons

Solution.

Solution.

Par la règle de puissance et la règle de chaîne,

Solution.

Par la règle de la chaîne,