Calculus

Calculus

derivaatan sivumäärittelystä on löydetty lauseke luonnollisen logaritmifunktion derivaatalle \(y = \Ln x:\)

nyt pidämme logaritminen funktio mielivaltainen perusta ja saada kaava sen derivaatta.

otetaan siis logaritminen funktio \(y = {\log _a}x,\), jossa kanta \(A\) on suurempi kuin nolla eikä yhtä suuri kuin \(1:\) \(A \gt 0\), \(a \Ne 1\). Derivaatan määritelmän mukaan annamme lisäyksen \(\Delta x \gt 0\) riippumattomalle muuttujalle \(x\) olettaen, että \(x + \Delta x \gt 0\). Logaritminen funktio kasvaa vastaavasti arvolla \(\Delta y\), jossa

Jaa molemmat puolet \ (\Delta x:\)

merkitse \ ({\frac{{\Delta x}}{x}} = {\frac{1}{n}}\). Sitten viimeinen suhde voidaan kirjoittaa uudelleen

käyttämällä power ominaisuus logaritmit, saamme:

Oletetaan, että \(\Delta x \to 0\) (tässä tapauksessa \(n \to \infty\)), löydämme raja suhde lisäyksiä, eli derivaatta logaritminen funktio:

tässä on käytetty komposiittifunktion raja-arvon ominaisuutta, koska logaritminen funktio on jatkuva. Hakasulkeissa oleva raja lähentyy kuuluisaan trancendentiaalilukuun \(e\), joka on suunnilleen sama kuin \(2.718281828\ldots:\)

näin ollen logaritmisen funktion derivaatta on muotoa

logaritmien peruskaavan muutoksella olemme:

näin,

jos \(a = e\), saadaan luonnollinen logaritmi, jonka derivaatta ilmaistaan kaavalla \({\left( {\Ln x} \right)^\prime } = {\frac{1}{x}}.\)

huomaamme toisen tärkeän erikoistapauksen-yhteisen logaritmin derivaatta (kantaluvulle \(10\)):

missä luku \(m\) on yhtä kuin \(m = {\log _{10}}e \approx 0.43429 \ldots \)

huomaa, että johdimme kaavan \(\left ({{{{\log }_a}x} \right)^\prime = \frac {1} {{x\Ln a}}\) ensimmäisistä periaatteista käyttäen derivaatan rajamääritelmää. Kuten logaritminen funktio, jonka kanta on \(a\) \(\left({a \gt 0}\right.\), \(\jättää.{a \ne 1}\right)\) ja eksponenttifunktio, joilla on sama kanta, muodostavat parin keskenään käänteisfunktioita, logaritmisen funktion derivaatta voidaan löytää myös käänteisfunktiolauseen avulla.

Oletetaan, että meille annetaan pari keskenään käänteistä funktiota \(y = f\left (x \right) = {\log_a}x\) ja \(x = \varphi \left( y \right) = {a^y}.\ ) Sitten

erityistapauksessa \(A = e\) derivaatta saadaan

seuraavissa esimerkeissä määritetään annetun funktion derivaatta.

ratkaistut ongelmat

klikkaa tai napauta ongelmaa nähdäksesi ratkaisun.

ratkaisu.

erottele osamääräsäännön avulla:

missä \(x \gt 0.\)

ratkaisu.

käyttämällä Tulo – ja erosääntöjä saadaan

ratkaisu.

käyttämällä tuotesääntöä, ketjusääntöä ja luonnollisen logaritmin derivaataa olemme

ratkaisu.

ratkaisu.

tehosäännön ja ketjusäännön mukaan,

ratkaisu.

ketjusäännön mukaan,