Cálculo
En la Definición de la página de la Derivada, hemos encontrado la expresión para la derivada de la función de logaritmo natural \(y = \ln x:\)
Ahora consideramos la función logarítmica con base arbitraria y obtenemos una fórmula para su derivada.
Por lo tanto, tomemos la función logarítmica \(y = {\log _a}x,\) donde la base \(a\) es mayor que cero y no es igual a \(1:\) \(a \gt 0\), \(a \ne 1\). De acuerdo con la definición de la derivada, damos un incremento \(\Delta x \gt 0\) a la variable independiente \(x\) asumiendo que \(x + \Delta x \gt 0\). La función logarítmica se incrementará, respectivamente, por el valor de \(\Delta y\) donde
Dividir ambos lados por \(\Delta x:\)
Denota \({\frac{{\Delta x}}{x}} = {\frac {1} {n}}\). Luego, la última relación se puede reescribir como
Usando la propiedad power para logaritmos, obtenemos:
Suponiendo que \(\Delta x \ to 0\) (en este caso \(n \to \infty\)), encontramos el límite de la relación de los incrementos, es decir, la derivada de la función logarítmica:
Aquí utilizamos la propiedad del límite de una función compuesta dado que la función logarítmica es continua. El límite entre corchetes converge al famoso número trancendencial \(e\), que es aproximadamente igual a \(2.718281828 \ ldots:\)
En consecuencia, la derivada de la función logarítmica tiene la forma
Por la fórmula de cambio de base para logaritmos, tenemos:
Así,
Si \(a = e\), obtenemos el logaritmo natural cuya derivada se expresa mediante la fórmula \({\left( {\ln x} \right)^\prime } = {\frac{1}{x}}.\)
Notamos otro caso especial importante: la derivada del logaritmo común (para basar \(10\)):
donde el número \(M\) es igual a \(M = {\log _{10}}e \approx 0.43429 \ldots\)
Tenga en cuenta que derivamos la fórmula \(\left( {{{\log }_a}x} \right)^\prime = \frac{1}{{x\ln a}}\) de los primeros principios, utilizando la definición de límite de la derivada. Como la función logarítmica con base \(a\) \(\left({a \gt 0}\right.\), \(\izquierda.{a \ ne 1} \ right)\) y la función exponencial con la misma base forman un par de funciones mutuamente inversas, la derivada de la función logarítmica también se puede encontrar utilizando el teorema de la función inversa.
Supongamos que tenemos un par de funciones mutuamente inversas \(y = f\left( x \right) = {\log_a}x\) y \(x = \varphi \left y \right) = {a^y}.\ ), Entonces
En el caso particular \(a = e\), la derivada está dada por
En los ejemplos de abajo, determine la derivada de la función dada.
Problemas resueltos
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Ejemplo 1
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Ejemplo 2
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Ejemplo 3
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Ejemplo 4
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Ejemplo 5
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Ejemplo 6
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Ejemplo 1.
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Solución.
Diferenciar usando la regla del cociente:
donde \(x \ gt 0.\)
Ejemplo 2.
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Solución.
Utilizar el producto y a diferencia de las reglas, tenemos
Ejemplo 3.
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Solución.
Usando la regla del producto, la regla de la cadena y la derivada del logaritmo natural, tenemos
Ejemplo 4.
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Solución.
Ejemplo 5.
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Solución.
Por el poder de la regla y de la regla de la cadena,
Ejemplo 6.
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Solución.
Por la regla de la cadena,