Calculus

Calculus

på Sidedefinitionen af derivatet har vi fundet udtrykket for derivatet af den naturlige logaritmefunktion \(y = \ ln:\)

nu overvejer vi den logaritmiske funktion med vilkårlig base og opnår en formel for dens derivat.

så lad os tage den logaritmiske funktion \(y = {\log _a},\) hvor basen \(A\) er større end nul og ikke lig med \(1:\) \(a \gt 0\), \(a \ne 1\). Ifølge definitionen af derivatet giver vi en stigning \(\Delta \ gt 0\) til den uafhængige variabel \(h\) under forudsætning af at \(h + \Delta \gt 0\). Den logaritmiske funktion øges henholdsvis med værdien af \(\Delta y\) hvor

del begge sider med \ (\Delta:\)

Angiv \({\frac{{\Delta}} {}} = {\frac{1}{n}}\). Derefter kan det sidste forhold omskrives som

ved hjælp af strømegenskaben til logaritmer opnår vi:

hvis vi antager, at \(\Delta \ til 0\) (i dette tilfælde \(n \til \infty\)), finder vi grænsen for forholdet mellem trinnene, dvs. derivatet af den logaritmiske funktion:

her brugte vi egenskaben for grænsen for en sammensat funktion, da den logaritmiske funktion er kontinuerlig. Grænsen i de firkantede parenteser konvergerer til det berømte trancendentialnummer \(e\), som er omtrent lig med \(2.718281828 \ ldots:\)

følgelig har derivatet af den logaritmiske funktion formen

ved ændring af basisformlen for logaritmer har vi:

således,

hvis \(A = e\), opnår vi den naturlige logaritme, hvis derivat udtrykkes med formlen \({\left ({\Ln} \right)^\prime } = {\frac{1} {}}.\)

vi bemærker et andet vigtigt specielt tilfælde-derivatet af den fælles logaritme (til base \(10\)):

hvor tallet \(M\) er lig med \(M = {\log _{10}}e \ca.0,43429 \ldots\)

Bemærk, at vi afledte formlen \(\left( {{{\log }_a}h} \højre)^\prime = \frac{1}{{h\ln A}}\) fra de første principper – ved hjælp af grænsedefinitionen af derivatet. Som den logaritmiske funktion med base \(a\) \(\venstre ({a\gt 0} \ højre.\), \(\venstre.{a \ ne 1}\right)\) og eksponentiel funktion med samme base danner et par gensidigt inverse funktioner, derivatet af den logaritmiske funktion kan også findes ved hjælp af den inverse funktionssætning.

Antag, at vi får et par gensidigt inverse funktioner \(y = f\left( h \right) = {\log_a}h\) og \(H = \varphi \left( y \right) = {a^y}.\ ) Derefter

i det særlige tilfælde \(A = e\) er derivatet givet af

i eksemplerne nedenfor skal du bestemme derivatet af den givne funktion.

løst problemer

klik eller tryk på et problem for at se løsningen.

løsning.

differentier ved hjælp af kvotientreglen:

hvor \(h \gt 0.\)

løsning.

brug af produkt – og differencereglerne har vi

løsning.

ved hjælp af produktreglen, kædereglen og derivatet af den naturlige logaritme har vi

løsning.

løsning.

af magtreglen og kædereglen,

løsning.

af kædereglen,