Calcolo
Nella pagina Definizione di Derivata, abbiamo trovato l’espressione per la derivata del logaritmo naturale funzione \(y = \ln x:\)
Ora consideriamo la funzione logaritmica arbitrario di base e ottenere una formula per la derivata.
Quindi, prendiamo la funzione logaritmica \(y = {\log _a}x,\) dove la base \(a\) è maggiore di zero e non uguale a \(1:\) \(a \gt 0\), \(a \ne 1\). Secondo la definizione della derivata, diamo un incremento \(\Delta x \ gt 0\) alla variabile indipendente \(x\) assumendo che \(x + \Delta x \gt 0\). La funzione logaritmica incremento, rispettivamente, del valore di \(\Delta y\), dove
Dividere entrambi i lati da \(\Delta x:\)
Utilizzando la potenza di proprietà per i logaritmi, si ottiene:
Supponendo che \(\Delta x \to 0\) (in questo caso \(n \to \infty\)), troviamo il limite del rapporto degli incrementi, cioè la derivata della funzione logaritmica:
Qui abbiamo usato la proprietà del limite di una funzione composita dato che la funzione logaritmica è continua. Il limite tra parentesi quadre converge alla famosa trancendential numero \(e\), che è approssimativamente uguale a \(2.718281828\ldots:\)
di Conseguenza, la derivata della funzione logaritmica ha la forma
Da il cambiamento-di-formula di base per i logaritmi, abbiamo:
Così,
Se \(a = e\), si ottiene il logaritmo naturale derivato di cui è espressa con la formula \({\left( {\ln x} \right)^\prime } = {\frac{1}{x}}.\)
Si nota un altro caso particolare importante − la derivata del logaritmo decimale (base \(10\)):
dove il numero \(M\) è uguale a \(M = {\log _{10}}e \ca 0.43429 \ldots \)
Nota che abbiamo derivato la formula \(\left( {{{\log }_a}x} \right)^\prime = \frac{1}{{x\ln a}}\) da principi di base – utilizzo di limite, definizione di derivata. Come funzione logaritmica con base \(a\) \(\left ({a\gt 0} \ right.\), \(\sinistra.{a \ ne 1} \ right)\) e la funzione esponenziale con la stessa base formano una coppia di funzioni reciprocamente inverse, la derivata della funzione logaritmica può anche essere trovata usando il teorema della funzione inversa.
Supponiamo di avere una coppia di funzioni reciprocamente inverse \(y = f\left( x \right) = {\log_a}x\) e \(x = \varphi \left( y \right) = {a^y}.\ ) Quindi
Nel caso particolare \(a = e\), la derivata è data da
Negli esempi seguenti, determinare la derivata della funzione data.
Problemi risolti
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Esempio 1
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Esempio 2
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Esempio 3
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Esempio 4
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Esempio 5
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Esempio 6
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Esempio 1.
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Soluzione.
Differenziare usando la regola del quoziente:
dove \(x \ gt 0.\)
Esempio 2.
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Soluzione.
utilizzare il prodotto e la differenza di regole, abbiamo
Esempio 3.
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Soluzione.
Utilizzando la regola del prodotto, la regola della catena e la derivata del logaritmo naturale, abbiamo
Esempio 4.
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Soluzione.
Esempio 5.
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Soluzione.
Dall’alimentazione regola e la regola della catena,
Esempio 6.
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Soluzione.
Dalla regola della catena,