Cálculo
Na página de Definição de Derivativo, nós encontramos a expressão para a derivada do logaritmo natural da função \(y = \ln x:\)
Agora vamos considerar a função logarítmica com base arbitrária e obter uma fórmula para a sua derivada.
então, vamos pegar a função logarítmica \(y = {\log _a}x,\) onde a base \(a\) é maior que zero e não igual a \(1:\) \(A \gt 0\), \(a \ne 1\). De acordo com a definição da derivada, damos um incremento \(\Delta x \gt 0\) à variável independente \(x\) assumindo que \(x + \Delta x \gt 0\). O logarítmica a função de incremento de, respectivamente, pelo valor de \(\Delta y\), onde
Divida ambos os lados por \(\Delta x:\)
Usando o poder de propriedade de logaritmos, obtemos:
Supondo-se que \(\Delta x \to 0\) (nesse caso, o \(n \to \infty\)), podemos encontrar o limite da relação dos incrementos, isto é, a derivada da função logarítmica:
aqui usamos a propriedade do limite de uma função composta, dado que a função logarítmica é contínua. O limite entre parênteses rectos converge para o famoso trancendential número de \(e\), que é aproximadamente igual a \(2.718281828\ldots:\)
Consequentemente, a derivada do logaritmo da função tem a forma
com a mudança de base da fórmula de logaritmos, temos:
Assim,,
Se \(a = e\), podemos obter o logaritmo natural derivado da qual é expressa pela fórmula \({\left( {\ln x} \right)^\prime } = {\frac{1}{x}}.\)
nota-se outro importante caso especial − a derivada do logaritmo comum (base \(10\)):
onde o número de \(M\) é igual a \(M = {\log _{10}}e \approx 0.43429 \ldots \)
Observe que nos derivados de fórmula \(\left( {{{\log }_a}x} \right)^\prime = \frac{1}{{x\ln um}}\) a partir de primeiros princípios – usando o limite de definição de derivativo. Como a função logarítmica com base \(a\) \(\left({A \gt 0}\right.\), \(\esquerda.{a\ne 1}\ right)\) e função exponencial com a mesma base formam um par de funções mutuamente inversas, a derivada da função logarítmica também pode ser encontrada usando o teorema da função inversa.
suponha que recebamos um par de funções mutuamente inversas \(y = f \left( x\right) = {\log_a}x\) e \(x = \varphi \left( y \right) = {a^y}.\) Em seguida,
No caso particular \(a = e\), a derivada é dada por
Nos exemplos abaixo, determine a derivada da função dada.
Problemas Resolvidos
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Exemplo 1
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Exemplo 2
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Exemplo 3
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Exemplo 4
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Exemplo 5
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Exemplo 6
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Exemplo 1.
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solução.
Diferenciar usando a regra do quociente:
onde \(x \gt 0.\)
Exemplo 2.
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solução.
Usando o produto e a diferença regras, temos
exemplo 3.
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solução.
Usando o produto de regra, a regra da cadeia e a derivada do logaritmo natural, temos
Exemplo 4.
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solução.
exemplo 5.
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solução.
Pelo poder regra e a regra da cadeia,
exemplo 6.
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solução.
Pela regra da cadeia,