Kalkulus

Kalkulus

På Sidedefinisjonen Av Derivatet har vi funnet uttrykket for derivatet av den naturlige logaritmefunksjonen \(y = \ln x:\)

nå vurderer vi logaritmefunksjonen med vilkårlig base og får en formel for dens derivat.

Så, la oss ta logaritmefunksjonen \(y = {\log _a}x,\) hvor basen \(a\) er større enn null og ikke lik \(1:\) \(a \gt 0\), \(a \ ne 1\). I henhold til definisjonen av derivatet gir vi et inkrement \(\Delta x \ gt 0\) til den uavhengige variabelen \(x\) forutsatt at \(x + \ Delta x \ gt 0\). Den logaritmiske funksjonen vil øke henholdsvis med verdien av \(\Delta y\) hvor

Del begge sider med \ (\Delta x:\)

Betegner \({\frac {{\Delta x}}{x}} = {\frac{1}{n}}\). Da kan det siste forholdet omskrives som

Ved å Bruke strømegenskapen for logaritmer får vi:

Anta at \(\Delta x \ til 0\) (i dette tilfellet \(n \til \infty\)), finner vi grensen for forholdet mellom trinnene, dvs. derivatet av logaritmefunksjonen:

her brukte vi egenskapen til grensen til en sammensatt funksjon gitt at logaritmefunksjonen er kontinuerlig. Grensen i firkantede parenteser konvergerer til det berømte trancendential nummeret \(e\), som er omtrent lik \(2.718281828 \ ldots:\)

følgelig har derivatet av logaritmefunksjonen formen

ved endring av basisformelen for logaritmer har vi:

Dermed,

Hvis \(a = e\), får vi den naturlige logaritmen hvis derivat uttrykkes av formelen \({\left( {\ln x} \right)^\prime } = {\frac{1}{x}}.\)

vi merker et annet viktig spesialtilfelle-derivatet av den felles logaritmen (til base \(10\)):

hvor tallet \(M\) er lik \(M = {\log _{10}}e \ca 0.43429 \ ldots \)

Merk at vi avledet formelen \(\left ({{{\log }_a}x} \ right)^\prime = \frac{1}{{x\ln a}}\) fra første prinsipper – ved hjelp av grensedefinisjonen av derivatet. Som logaritmefunksjonen med base \(a\) \(\venstre ({a \ gt 0} \ høyre.\), \(\venstre.{a \ne 1} \ høyre)\) og eksponentiell funksjon med samme base danner et par gjensidig inverse funksjoner, kan derivatet av logaritmefunksjonen også bli funnet ved hjelp av den inverse funksjonsteoremet.

Anta at vi får et par gjensidig inverse funksjoner \(y = f \ left(x \right) = {\log_a}x\) og \(x = \varphi \left (y \right) = {a^y}.\ ) Deretter

i det spesielle tilfellet \(a = e\) er derivatet gitt ved

i eksemplene nedenfor bestemmer du derivatet av den gitte funksjonen.

Løste Problemer

Klikk eller trykk på et problem for å se løsningen.

Løsning.

Differensiere ved hjelp av kvotientregelen:

hvor \(x \ gt 0.\)

Løsning.

Ved hjelp av produkt – og forskjellsreglene har vi

Løsning.

Ved å Bruke produktregelen, kjederegelen og derivatet av den naturlige logaritmen, har vi

Løsning.

Løsning.

ved strømregelen og kjederegelen,

Løsning.

etter kjederegelen,