微積分
導関数のページ定義で、自然対数関数\(y=\ln x)の導関数の式を見つけました:\)
ここで、任意の底を持つ対数関数を考慮し、その導関数の式を得ます。したがって、底辺\(a\)がゼロより大きく、\(1:\)\(a\gt0\)、\(a\ne1\)と等しくない対数関数\(y={\log_a}x,\)を取りましょう。 微分の定義によれば、\(x+\Delta x\gt0\)と仮定して、独立変数\(x\)に増分\(\Delta x\gt0\)を与えます。 対数関数は、それぞれ\(\Delta y\)の値だけ増分します。
両側を\(\Delta x)で割る:\)
は\({\Frac{{\Delta x}}{x}}={\frac{1}{n}}\)を表します。 その後、最後の関係は次のように書き換えることができます
対数のべき乗特性を使用すると、次のようになります:
\(\Delta x\to0\)（この場合は\(n\to\infty\)）と仮定すると、増分の比率の限界、すなわち対数関数の導関数が見つかります:
ここでは、対数関数が連続であると仮定した合成関数の極限の性質を使用しました。 角括弧内の制限は、\(2.718281828\ldots\)にほぼ等しい有名なtrancendential number\(e\)に収束します:\)
その結果、対数関数の導関数は次の形式になります
対数の基本変化式によって、我々は持っています:
このように,
ln a=e.の場合、その導関数が次の式で表される自然対数が得られます。\({\left({\ln x}\right).\prime}={\frac{1}{x}}……………..\)
もう一つの重要な特殊なケースに注意してください−常用対数の導関数（底辺へ\(10\)):
ここで、数\(M\)は\(M={\log_{10}}e\approx0.43429\ldots\)に等しい
我々は式\(\left({{{\log}_a}x}\right)prime\prime=\frac{1}{{x\ln a}}\)を導出したことに注意してください。 を底とする対数関数として\(a\)\(\left({a\gt0}\right)\(\left({a\gt0}\right)\(\left({a\gt0}\right)\\),\(\左.{a\ne1}\right)\)と同じ基底を持つ指数関数は、相互に逆関数のペアを形成し、対数関数の導関数は逆関数定理を使用して見つけることもできます。我々は、相互に逆関数のペアを与えられていると仮定\(y=f\left(x\right)={\log_a}x\)と\(x=\varphi\left(y\right)={a^y}.\)したがって、
特定の場合\(a=e\)では、導関数は次のように与えられます。
以下の例では、与えられた関数の導関数を決定します。
解決済みの問題
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例1
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例2
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例3
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例4
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例5
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例6
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例1.
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解決策。
商規則を使用して微分する:
ここで、\(x\gt0.\)
例2.
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解決策。したがって、product\frac{1}{x}=\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}\;\;\left（{x\gt0}\right）。\]
例3.
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解決策。
積ルール、連鎖ルール、自然対数の導関数を使用して、次のようになります
例4.
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解決策。Prime frac{1}{x^2}-2x}\cdot\left({{x^2}-2x}\right).\prime=\frac{{2x-2}}{{{x^2}-2x}}..これは\frac{1}{x^2}-2x.を意味します。\]
例5.
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解決策。
べき乗則と連鎖則による,
例6.
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解決策。チェーンルールによる
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