Kalkül

Kalkül

Auf der Seite Definition der Ableitung haben wir den Ausdruck für die Ableitung der natürlichen Logarithmus-Funktion \(y = \ln x) gefunden:\)

Nun betrachten wir die logarithmische Funktion mit beliebiger Basis und erhalten eine Formel für ihre Ableitung.

Nehmen wir also die logarithmische Funktion \(y = {\log _a}x,\), wobei die Basis \(a\) größer als Null und ungleich \(1:\) \(a \gt 0\), \(a \ne 1\) ist. Gemäß der Definition der Ableitung geben wir der unabhängigen Variablen \(x\) ein Inkrement \(\Delta x \gt 0\) unter der Annahme, dass \(x + \Delta x \gt 0\). Die logarithmische Funktion erhöht sich jeweils um den Wert von \(\Delta y\) wobei

Teilen Sie beide Seiten durch \(\Delta x:\)

Bezeichnen \({\frac{{\Delta x}}{x}} = {\frac{1}{n}}\). Dann kann die letzte Beziehung umgeschrieben werden als

Mit der Power-Eigenschaft für Logarithmen erhalten wir:

Angenommen, \(\Delta x \ bis 0\) (in diesem Fall \(n \ bis \infty\)), finden wir die Grenze des Verhältnisses der Inkremente, d. H. Die Ableitung der logarithmischen Funktion:

Hier haben wir die Eigenschaft der Grenze einer zusammengesetzten Funktion verwendet, da die logarithmische Funktion stetig ist. Die Grenze in den eckigen Klammern konvergiert zur berühmten Tranzendenzzahl \(e\), die ungefähr gleich \(2.718281828\ldots) ist:\)

Folglich hat die Ableitung der logarithmischen Funktion die Form

Durch die Änderung der Basisformel für Logarithmen haben wir:

So,

Wenn \(a = e\), erhalten wir den natürlichen Logarithmus, dessen Ableitung durch die Formel ausgedrückt wird \({\left( {\ln x} \right)^\prime } = {\frac{1}{x}}.\)

Wir bemerken einen weiteren wichtigen Sonderfall − die Ableitung des gemeinsamen Logarithmus (zur Basis \(10\)):

wobei die Zahl \(M\) gleich \(M = {\log _{10}}e \( 0.43429 \ldots \)

Beachten Sie, dass wir die Formel \(\left( {{\log }_a}x} \right)^\prime = \frac{1}{{x\ln a}}\) aus den ersten Prinzipien abgeleitet haben – unter Verwendung der Grenzwertdefinition der Ableitung. Als logarithmische Funktion mit Basis \(a\) \(\left({a \gt 0}\right .\), \(\Links.{a \ne 1}\right)\) und Exponentialfunktion mit der gleichen Basis bilden ein Paar gegenseitig inverser Funktionen, die Ableitung der logarithmischen Funktion kann auch mit dem Satz der inversen Funktion gefunden werden.

Angenommen, wir erhalten ein Paar gegenseitig inverser Funktionen \(y = f\left( x \right) = {\log_a}x\) und \(x = \varphi \left( y \right) = {a^y} .\) Dann

Im speziellen Fall \(a = e\) ist die Ableitung gegeben durch

Bestimmen Sie in den folgenden Beispielen die Ableitung der gegebenen Funktion.

Gelöste Probleme

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Lösung.

Differenzieren mit der Quotientenregel:

wobei \(x \gt 0.\)

Lösung.

Unter Verwendung der Produkt- und Differenzregeln haben wir

Lösung.

Mit der Produktregel, der Kettenregel und der Ableitung des natürlichen Logarithmus haben wir

Lösung.

Lösung.

Durch die Machtregel und die Kettenregel,

Lösung.

Nach der Kettenregel,