Počet

Počet

na stránce definice derivace jsme našli výraz pro derivaci přirozené logaritmické funkce \(y = \ln x:\)

nyní zvažujeme logaritmickou funkci s libovolnou základnou a získáme vzorec pro její derivaci.

Vezměme si tedy logaritmickou funkci \(y = {\log _a}x,\), kde báze \(a\) je větší než nula a není rovna \(1:\) \(a \ gt 0\), \(a \ne 1\). Podle definice derivátu dáváme přírůstek \(\Delta x \ gt 0\) nezávislé proměnné \(x\) za předpokladu, že \(x + \ Delta x \ gt 0\). Logaritmická funkce se zvýší o hodnotu \(\Delta y\), kde

vydělte obě strany \(\Delta x:\)

označte \({\frac {{\Delta x}}{x}} = {\frac{1}{n}}\). Pak může být poslední relace přepsána jako

pomocí vlastnosti power pro logaritmy získáme:

Předpokládejme, že \(\Delta x \to 0\) (v tomto případě \(n \ to \ infty\)), najdeme limit poměru přírůstků, tj. derivace logaritmické funkce:

zde jsme použili vlastnost limitu složené funkce vzhledem k tomu, že logaritmická funkce je spojitá. Limit v hranatých závorkách konverguje ke slavnému trancendenciálnímu číslu \(e\), které se přibližně rovná \(2.718281828 \ ldots:\)

v důsledku toho má derivace logaritmické funkce Tvar

podle vzorce pro změnu základny pro logaritmy máme:

tak,

pokud \(a = e\), získáme přirozený logaritmus, jehož derivace je vyjádřena vzorcem \({\left ({\ln x} \right)^ \ prime } = {\frac{1}{x}}.\)

zaznamenáváme další důležitý zvláštní případ-derivaci společného logaritmu (k základně \(10\)):

kde číslo \(M\) je rovno \(M = {\log _{10}}e \ cca 0.43429 \ ldots \)

Všimněte si, že jsme odvodili vzorec \(\left ({{{\log }_a}x} \right)^ \ prime = \frac{1}{{x\ln a}}\) z prvních principů – pomocí limitní definice derivace. Jako logaritmická funkce se základnou \(a\) \(\left ({a \ gt 0}\right.\), \(\Levá.{a \ne 1} \ right)\) a exponenciální funkce se stejnou základnou tvoří dvojici vzájemně inverzních funkcí, derivaci logaritmické funkce lze také nalézt pomocí věty o inverzní funkci.

Předpokládejme, že dostaneme dvojici vzájemně inverzních funkcí \(y = f\left( x \right) = {\log_a}x\) a \(x = \varphi \left( y \right) = {a^y}.\ ) Pak

v konkrétním případě \(a = e\) je derivace dána

v níže uvedených příkladech určete derivaci dané funkce.

Vyřešené problémy

kliknutím nebo klepnutím na problém zobrazíte řešení.

řešení.

Diferencujte pomocí kvocientního pravidla:

kde \(x \ gt 0.\)

řešení.

pomocí pravidel součinu a rozdílu máme

řešení.

pomocí pravidla produktu, pravidla řetězce a derivace přirozeného logaritmu máme

řešení.

řešení.

podle pravidla výkonu a pravidla řetězce,

řešení.

podle pravidla řetězce,